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庞加莱猜想---孤傲的勇士佩尔德曼

至此只剩下三维的情况,但后来人们发现这恰恰也是最难的的部分,为了能够取得进展,拓扑学家开始重新整理他们的工具,终于在1982年威廉—瑟斯顿(他因为三维流形方面的工作,也获得了菲尔兹奖,这里不得不吐槽一句,是个人都能获奖是吧)发现了每一个三维空间都可以分成多个有特定已知的几何对应部分,而这些不同的几何只有8种,这个被称为几何化猜想。

如果几何化猜想能够得到证明,我们就可以得到庞加莱猜想,因为球面只是八种符合基本平凡群里的一种。理查德—汉密尔顿提供了一种思路:我们可以从一个不规则的任意空间开始,让他流向一个已知的空间(精简版的几何化空间)。


(资料图片仅供参考)

为了引导流,需要一个几何演化方程,命名为里奇流,在里奇流中高曲率的区域会扩散成众多低曲率的区域,直到空间的各个曲率一致。

汉密尔顿的策略在二维表面十分完美,但是当三维的时候会出现所谓的奇点问题,他没有办法解决,庞加莱猜想三维情况的证明也就停滞了。人们似乎陷入了某种绝望,人们很难相信这个问题会有所谓的大突破。

但我们的主人公(姗姗来迟)佩尔德曼在1995年结束了在美国三年的逗留,回到了祖国俄罗斯,他在美国期间与汉密尔顿会面,学习里奇流的技术,随后整整七年,与世隔绝。然后时间来到了2002年,他将自己三篇证明几何化猜想的论文放到了所谓的论文预印网站(arXiv)上。

事实上他这三篇石破天惊的论文没有发表在任何学术期刊(可能与他本人的性格有关),佩尔德曼在他的论文中将里奇流作为一种梯度流,指出了汉密尔顿遗漏的一个重要细节,即:一个随流总是递增的量表明了这个流的方向。借用统计力学的术语,可以把这个量称为熵。

借助这个熵我们能够排除汉密尔顿的奇点,但是为了万无一失,佩尔德曼还要说明确定剩下奇点的种类,而且一次只会有一种情况,它不能是无限种情况的叠加。对于出现的每一种奇点,他也必须说明在里奇流被破坏前能够做手术,幸运的是佩尔德曼说明的更多,他这种带手术的里奇流过程可以持续无限长的时间。

当然,即使佩尔德曼已经做出如此伟大的工作,2003年他去美国开始讲解他的工作,很多人仍然不相信,好在2006年数学界终于看懂了他的证明,补充了细节。这里我们只讲第三篇的细节补充,是当时里海大学(美国宾夕法尼亚)的曹怀东和中山大学(中国广州)朱熹平做的,他们宣称的是“第一个成文的庞加莱猜想和瑟斯顿几何化猜想的完全证明),国内媒体(新华社)当时还有报道。

佩尔德曼的论文不是不严谨,只是省略了细节(在数学中这种是很常见的)我个人认为佩尔德曼拒领菲尔兹奖有他性格的原因,也有外部的因素,当年好像有一篇采访是这样写道的:佩尔德曼放弃了数学,并且对同行们的道德标准的退化和堕落深感失望。

一名加州理工的研究者指出曹、朱论文中引理7.1.2与克莱纳和洛特2003年发表的成果几乎完全相同。据此,洛特指责曹和朱两人有剽窃的行为。此后,曹怀东和朱熹平在原刊发表纠错声明,确认了此引理是克莱纳和洛特的成果,解释没有指明出处是由于编辑上的差错,并为此向两位原作者致歉。

后来曹朱二人在12月发表的修正论文《庞加莱猜想与几何化猜想的汉米尔顿-佩雷尔曼证明》(Hamilton-Perelman"s Proof of the Poincare Conjecture and the Geometrization Conjecture)中,定理7.1.1的第二步特别说明使用并修改了克莱纳和洛特的方法,但是这一步其实只是佩雷尔曼第一篇文章定理12.1中一个结果的弱版。

虽然这些事已经无从考证了,丘老板对此也有说法,曹朱二人的论文未经同行评审,丘老板以期刊主编的身份,发表有利于他们研究团队的论文成果,丘老板的回应是:曾邀请包括佩雷尔曼在内的几位数学家审稿,但没有被接受,于是丘老板自己审稿。

我知道丘老板是很厉害啦,端的上是第一流的数学家,但并不是数学工作者都像丘老板这样的,有的也会放弃菲尔兹奖,也会为了公正放弃所谓的100万美元(千禧年难题大奖,佩尔德曼认为没有授予汉密尔顿是不公正的)

最后,以上只是坊间传闻,真假不可知道。大家听听就好,匿了。

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